Užitečné tipy

Exponenciální funkce - vlastnosti, grafy, vzorce

Pin
Send
Share
Send
Send


V obecném případě formulář pro okamžité nahrávání libovolná hodnota je následující:

Tento záznam ukazuje, jak se toto nebo dané množství mění v závislosti na čase. Místo sinu může existovat kosinus, to se při dalších činnostech nic nezmění.

Před trigonometrickou funkcí je vždy zaznamenána hodnota amplitudy (tj. Maximální možná hodnota). Navíc v elektrotechnice se výpočty ve většině případů provádějí spíše v proudových než amplitudových hodnotách. Je-li potřeba amplituda, je to uvedeno v podmínkách úlohy.

Nejjednodušším způsobem je okamžitý přechod z okamžité formy na exponenciální formu psaní komplexního čísla. Za tímto účelem píšeme modul s číslem vynásobeným „e“, do jehož hloubky je uveden úhel počáteční fáze „f“:

To bude samozřejmě hodnota amplitudy. K překladu do současného stačí si vzpomenout, že je √2krát menší než amplituda, pak dostaneme:

Zvažte příklad. Okamžitá hodnota proudu v obvodu je nastavena:

Jeho komplexní hodnotu je třeba komplexně zapsat. Jak je uvedeno výše, píšeme:

Jak vidíte, multiplikátor 314 před časovou proměnnou "t" není zapojen do transformací.

Převod z exponenciální formy zápisu komplexního čísla na okamžitou formu se provádí pomocí stejných výpočtů v obráceném pořadí. Předpokládejme, že nastavíte skutečnou hodnotu napětí:

Nejprve určíme hodnotu amplitudy napětí vynásobením efektivní hodnoty modulem √2:

Okamžitý tvar zaznamenáváme pomocí vypočtené amplitudy a úhlu počáteční fáze, známé z exponenciální formy záznamu:

Je nemožné určit cyklickou frekvenci obvodu ω z komplexního čísla, takže je buď jednoduše napsáno v řeckém dopise „omega“, nebo je určeno z dalších podmínek, například z uvedené frekvence obvodu.

Jednoduchý algoritmus pro převod okamžité formy záznamových veličin do exponenciální formy komplexního čísla:

  • Modul absolutní hodnoty určíme vydělením hodnoty amplitudy √2
  • Napíšeme konečný výraz pomocí fázového úhlu z počáteční fáze pro okamžitou hodnotu

    A poslední věc - pravděpodobně jste si všimli, že překládáme do orientační formy záznamu. Co dělat, když potřebujete přeložit do algebraické? Všechno je velmi jednoduché - nejprve jej převedeme na exponenciální, a pak z něj, podle Eulerova vzorce, do algebraické. O tom jsme již psali podrobně:

    Definice

    Exponenciální funkce Je zobecnění součinu n čísel rovno a:
    y (n) = a n = a
    do množiny reálných čísel x:
    y (x) = a x.
    Zde a je pevné reálné číslo, které se nazývá základ exponenciální funkce.
    Rovněž se nazývá exponenciální funkce se základnou a základní exponent a .

    Zobecnění je následující.
    Pro kladné celé číslo x = 1, 2, 3. je exponenciální funkce součinem x faktorů:
    .
    Navíc má vlastnosti (1,5–8) (viz níže ⇓), které vyplývají z pravidel násobení čísel. Pro nulové a záporné hodnoty celých čísel je exponenciální funkce určena vzorci (1.9-10). S zlomkovými hodnotami x = m / n racionálních čísel se určuje vzorcem (1.11). Ve skutečnosti je exponenciální funkce definována jako limit sekvence:
    ,
    kde je libovolná posloupnost racionálních čísel konvergujících k x :.
    S touto definicí je exponenciální funkce definována pro všechny a splňuje vlastnosti (1,5-8), jakož i pro přirozené x.

    Podrobná matematická formulace definice exponenciální funkce a důkaz jejích vlastností je uveden na stránce „Definice a důkaz vlastností exponenciální funkce“.

    Exponenciální funkční vlastnosti

    Exponenciální funkce y = a x má na množině reálných čísel následující vlastnosti ():
    (1.1) definované a souvislé, pro všechny,
    (1.2) pro ≠ 1 má mnoho významů,
    (1.3) přísně se zvyšuje, přísně se snižuje,
    je konstantní v
    (1.4) v
    v
    (1.5) ,
    (1.6) ,
    (1.7) ,
    (1.8) ,
    (1.9) ,
    (1.10) ,
    (1.11) , .

    Další užitečné vzorce.
    .
    Vzorec pro převod na exponenciální funkci s různým stupněm základu:

    Pro b = e získáme vyjádření exponenciální funkce ve smyslu exponentu:

    Exponenciální funkční grafy

    Obrázek ukazuje grafy exponenciální funkce
    y (x) = a x
    pro čtyři hodnoty stupně důvodů: a = 2, a = 8, a = 1/2 a a = 1/8. Je vidět, že pro> 1 exponenciální funkce monotónně roste. Čím větší je základ stupně a, tím silnější je růst. Na 0 1 exponenciální funkce monotónně klesá. Čím menší je exponent a, tím větší je pokles.

    Vzestupně, sestupně

    Exponenciální funkce, na, je striktně monotónní, proto nemá žádné extrémy. Jeho hlavní vlastnosti jsou uvedeny v tabulce.

    y = a x, a> 1 y = a x, 0 1
    Oblast působnosti– ∞– ∞
    Rozsah hodnot00
    Monotoniemonotónně rostemonotónně klesá
    Nuly, y = 0nene
    Průsečíky s osami souřadnic, x = 0y = 1y = 1
    + ∞0
    0+ ∞

    Inverzní funkce

    Inverzní exponenciální funkce se základnou stupně a je logaritmus základny a.

    Pokud 0, , a ne 1) "style =" šířka: 203px, výška: 20px, vertikální zarovnání: -11px, poloha na pozadí: -0px -492px, "> pak
    .
    Pokud 0, , a> 0, a ne 1) "style =" width: 286px, výška: 20px, vertikální zarovnání: -11px, poloha na pozadí: -386px -469px, "> pak
    .

    Diferenciace exponenciální funkce

    Aby bylo možné rozlišit exponenciální funkci, její základ musí být snížen na počet e, aplikovat tabulku derivátů a pravidlo diferenciace komplexní funkce.

    Chcete-li to provést, použijte vlastnost logaritmus
    a vzorec z tabulky derivátů:
    .

    Nechť je dána exponenciální funkce:
    .
    Přinášíme to na základnu e:

    Uplatňujeme pravidlo diferenciace komplexní funkce. Chcete-li to provést, zadejte proměnnou

    Pak

    Z tabulky derivací máme (nahraďte proměnnou x za z):
    .
    Protože je konstanta, derivát z vzhledem k x je
    .
    Pravidlem diferenciace komplexní funkce:
    .

    Příklad diferenciace exponenciální funkce

    Najděte odvozenou funkci
    y = 3 5 x

    Vyjadřujeme základ exponenciální funkce v počtu e.
    3 = e ln 3
    Pak
    .
    Zadejte proměnnou
    .
    Pak

    Z tabulky derivátů najdeme:
    .
    Protože 5ln 3 je konstanta, derivát z vzhledem k x je roven:
    .
    Pravidlem diferenciace komplexní funkce máme:
    .

    Výrazy pomocí komplexních čísel

    Zvažte funkci komplexního čísla z:
    f (z) = a z
    kde z = x + iy, i 2 = -1.
    Vyjadřujeme komplexní konstantu a skrze modul r a argument φ:
    a = r e i φ
    Pak


    .
    Argument φ není jednoznačně definován. Obecně
    φ = φ 0 + 2 πn,
    kde n je celé číslo. Funkce f (z) proto také není unikátní. Často zvažujte jeho hlavní význam
    .

    Pin
    Send
    Share
    Send
    Send