Jak najít výšku trojúhelníku

(Chcete-li prokázat totožnost, použijte vzorce

Jako bod E bychom měli vzít průnik dvou výšek trojúhelníku.)

• Poslední výrok je také důsledkem věty o vrcholech podderovského trojúhelníku (přímého a inverzního)

• Orthocenterisogonal do středu ohraničený kruh.
• Orthocenter leží na stejné linii s těžištěm, středem ohraničený kruh a střed kruhu devíti bodů (viz Eulerova čára).
• Orthocenter trojúhelník s ostrým úhlem je středem kruhu napsaného v jeho pravoúhlém trojúhelníku.
• Střed kruhu ohraničeného kolem trojúhelníku slouží jako orthocenter trojúhelníku se vrcholy uprostřed stran trojúhelníku. Poslední trojúhelník se nazývá přídavný trojúhelník vzhledem k prvnímu trojúhelníku.
• Poslední vlastnost může být formulována následovně: Střed kruhu ohraničeného kolem trojúhelníku slouží orthocenterdalší trojúhelník.
• Symetrické body orthocenter trojúhelník vzhledem k jeho stranám, leží na ohraničeném kruhu.
• Symetrické body orthocenter trojúhelník s ohledem na středy stran leží také na ohraničené kružnici a shoduje se s body diametrálně opačnými proti odpovídajícím vrcholům.
• Pokud Oh Je střed ohraničené kružnice ΔABC, pak O H → = O A → + O B → + O C → < displaystyle < overrightarrow > = < overrightarrow > + < overrightarrow > + < overrightarrow >> ,
  • | O H | = 9 R2 - (a 2 + b 2 + c 2) < displaystyle | OH | = < sqrt <9R ^ <2> - (a ^ <+> + b ^ <2> + c ^ <>> ) >>>, kde R < displaystyle R> je poloměr ohraničené kružnice, a, b, c < displaystyle a, b, c> jsou délky stran trojúhelníku.
• Vzdálenost od vrcholu trojúhelníku k orthocentru je dvakrát větší než vzdálenost od středu ohraničené kružnice na opačnou stranu.
• Jakýkoli segment z orthocenter na průsečíku s ohraničeným kruhem je vždy rozdělen na dvě části Eulerovým kruhem. Orthocenter tam je homothety centrum pro tyto dva kruhy.
• Hamiltonova věta. Tři segmenty čar spojující orthocenter se vrcholky ostrého úhlu trojúhelníku jej dělí na tři trojúhelníky mající stejný Eulerův kruh (devítibodový kruh) jako původní trojúhelník s ostrým úhlem.
• Důsledky Hamiltonovy věty:
  • Tři segmenty čar spojující orthocenter se vrcholky ostrého úhlu trojúhelníku jej dělí na tři Hamiltonův trojúhelníkmající stejné poloměry popsaných kruhů.
  • Poloměry ohraničených kruhů tří Hamiltonovy trojúhelníky rovná poloměru kruhu popsaného poblíž původního trojúhelníku s ostrým úhlem.
• V trojúhelníku s ostrým úhlem leží ortocenter uvnitř trojúhelníku, v tupém úhlu - mimo trojúhelník, v pravoúhlém vrcholu.

Vlastnosti výšek rovnoramenného trojúhelníku Úpravy

• Pokud jsou dvě výšky v trojúhelníku stejné, pak trojúhelník je rovnoramenný (Steiner-Lemusova věta), a třetí výška je jak střední, tak i úhel sklonu, ze kterého vychází.
• Opak je také pravdou: v rovnoramenném trojúhelníku jsou dvě výšky stejné a třetí výška je jak střední, tak i střední.
• Rovnostranný trojúhelník má všechny tři výšky stejné.

• Důvodyvýšky tvoří tzv. orthotriangle, který má své vlastní vlastnosti.
• Kruh ohraničený kolem pravoúhlého trojúhelníku je Eulerův kruh. Na tomto kruhu leží také tři středy stran trojúhelníku a tři středy tří segmentů spojujících orthocenter se vrcholy trojúhelníku.
• Další formulace druhé vlastnosti:
  • Eulerova věta o kruhu devíti bodů. Důvody ze tří výšky libovolný trojúhelník, uprostřed jeho tří stran (základy jeho vnitřního střední hodnoty) a uprostřed tří segmentů spojujících jeho vrcholy s orthocenterem, všechny leží na stejném kruhu (na kruh devíti bodů).
• Věta. V jakémkoli trojúhelníku se čára spojuje pozemků dva výšky trojúhelník, odřízne trojúhelník podobný tomuto.
• Věta. V trojúhelníku se spojuje čára pozemků dva výšky trojúhelníky ležící na dvou stranách, antiparalelní třetí strana, se kterou nemá žádné společné body. Přes jeho dva konce, jakož i dva vrcholy třetí zmíněné strany, můžete vždy nakreslit kruh.

• Pokud je trojúhelník univerzální (nerovný) pak to vnitřnímezi dvěma vrcholy leží křivka vnitřní medián a výška ze stejného vrcholu.
• Výška trojúhelníku je izogonicky spojena s průměrem (poloměrem) ohraničený kruhnakreslené ze stejného vrcholu.
• V ostrém úhlu trojúhelník jeho dva výšky odříznuty podobné trojúhelníky.
• V pravém trojúhelníkuvýškatažený z vrcholu pravého úhlu ho rozdělí na dva trojúhelníky podobné původnímu.

Minimum výšek trojúhelníku má mnoho extrémních vlastností. Například:

• Minimální ortogonální projekce trojúhelníku na čáry ležící v rovině trojúhelníku má délku rovnou nejmenší z jeho výšek.
• Minimální přímý řez v rovině, skrz kterou lze ohýbatelnou trojúhelníkovou desku táhnout, musí mít délku rovnou nejmenší z výšek této desky.
• Při nepřetržitém pohybu dvou bodů po obvodu trojúhelníku směrem k sobě nemůže být maximální vzdálenost mezi nimi během pohybu od prvního setkání do druhého menší než délka nejmenší z výšek trojúhelníku.
• Minimální výška v trojúhelníku vždy prochází uvnitř tohoto trojúhelníku.