Užitečné tipy

Vektorový modul

Pin
Send
Share
Send
Send


Pojďme analyzovat vektor. První souřadnice je $ a_x = 4 $ a druhá souřadnice je $ a_y = -3 $. Protože jsou dány dvě souřadnice, usuzujeme, že problém je plochý. Musíte použít první vzorec. Nahrazujeme hodnoty ze stavu problému do něj:

Pokud nemůžete svůj problém vyřešit, pošlete nám jej. Poskytneme podrobné řešení. Budete se moci seznámit s procesem výpočtu a získat informace. To pomůže získat kredit od učitele včas!

Příklad 1
Najděte délku vektoru podle jeho souřadnic $ overline = (4, -3) $
Řešení
Odpověď
Délka vektoru $ | overline | = 5 $

Okamžitě si všimneme, že je daný prostorový problém. Konkrétně $ a_x = 4, a_y = 2, a_z = 4 $. K nalezení délky vektoru použijeme druhý vzorec. Nahraďte do ní neznámé:

Příklad 2
Najděte délku vektoru pomocí souřadnic $ overline = (4,2,4) $
Řešení
Odpověď
Délka vektoru $ | overline | = 6 $

Problém je dán plošně soudě podle přítomnosti pouze dvou souřadnic vektorů. Tentokrát však začátek a konec vektoru. Nejprve proto najdeme souřadnice vektoru $ overline $ a teprve potom jeho délka podle vzorce souřadnic:

Nyní jsou souřadnice vektoru $ overline $ se stal známým, můžete použít známý vzorec:

Příklad 3
Najděte délku vektoru, pokud jsou známy souřadnice jeho začátku a konce. $ A = (2,1), B = (- 1,3) $
Řešení
Odpověď
$ | overline| = sqrt <13> $

V článku jsme odpověděli na otázku: „Jak najít délku vektoru?“ pomocí vzorců. A také za praktické příklady řešení problémů v rovině a ve vesmíru. Je třeba poznamenat, že existují podobné vzorce pro prostory více než trojrozměrné.

Vzorec pro délku n-rozměrného vektoru

V případě n-rozměrného prostoru je modul vektoru a = <a 1 , a 2,. , an > lze najít pomocí následujícího vzorce:

| a | = (nai 2 ) 1/2
Σ
i = 1

Příklady výpočtu délky vektoru pro prostory s rozměrem větším než 3

Řešení: | a | = √ 1 2 + (-3) 2 + 3 2 + (-1) 2 = √ 1 + 9 + 9 + 1 = √ 20 = 2√ 5

Řešení: | a | = = 2 2 + 4 2 + 4 2 + 6 2 + 2 2 = = 4 + 16 + 16 + 36 + 4 = = 76 = 2 = 19.

Všechny obscénní komentáře budou smazány a jejich autoři budou na černé listině!

Vítejte v OnlineMSchool.
Jmenuji se Dovzhik Mikhail Viktorovich. Jsem vlastníkem a autorem tohoto webu, napsal jsem veškerý teoretický materiál a také jsem vyvinul online cvičení a kalkulačky, které můžete použít ke studiu matematiky.

Obsah

Chcete-li zdůraznit, že se jedná o vektor (a nikoli skalární), použijte řádek nahoře, šipku nahoře, tučné nebo gotické:

Přidání vektorů je téměř vždy označeno znaménkem plus:

Násobení číslem - jednoduše psaním vedle sebe, bez zvláštního znaku, například:

a číslo je obvykle napsáno vlevo.

Násobení maticí je také indikováno psáním vedle ní, bez zvláštního znaménka, ale zde ovlivňuje výsledek permutace faktorů v obecném případě. Činnost lineárního operátoru na vektoru je také indikována psáním operátoru vlevo, bez zvláštního znaménka.

Intuitivně se vektor chápe jako objekt mající velikost, směr a (volitelně) aplikační bod. Spolu s geometrickým modelem komplexních čísel se objevily základy vektorového počtu (Gauss, 1831). Hamilton publikoval vyvinuté operace s vektory jako součást jeho kvartérního počtu (vektor tvořily imaginární komponenty kvaternionu). Hamilton navrhl termín sám vektor (lat.Vector, ložiska) a popsali některé operace vektorové analýzy. Tento formalismus použil Maxwell ve svých dílech o elektromagnetismu, čímž přitáhl pozornost vědců k novému počtu. Gibbs (Elements of Vector Analysis) (1880s) brzy vyšel, a pak Heaviside (1903) dal vektorové analýze moderní vzhled. Neexistují žádné obecně přijímané vektorové zápisy, používají se tučné písmo, čára nebo šipka nad písmenem, gotická abeceda atd.

V geometrii vektory znamenají směrové segmenty. Tato interpretace se často používá v počítačové grafice, při vytváření světelných map, při použití normál k povrchům. Také pomocí vektorů můžete najít oblasti různých tvarů, jako jsou trojúhelníky a rovnoběžníky, jakož i objemy těl: čtyřstěn a rovnoběžnost.
Směr je někdy označen vektorem.

Vektor v geometrii je přirozeně spojen s převodem (paralelní přenos), který zjevně objasňuje původ svého názvu (latinský vektor, ložisko) Ve skutečnosti jakýkoli směrovaný segment jednoznačně definuje paralelní překlad roviny nebo prostoru a naopak paralelní překlad jednoznačně definuje jediný směrovaný segment (jednoznačně - pokud jsou všechny směrované segmenty stejného směru a délky považovány za stejné - to znamená, že jsou považovány za volné vektory). .

Interpretace vektoru jako přenosu umožňuje přirozený a intuitivní způsob zavedení operace přidávání vektorů - jako složení (sekvenční aplikace) dvou (nebo více) přenosů, to samé platí pro operaci násobení vektoru číslem.

V lineární algebře je vektor prvkem lineárního prostoru, který odpovídá obecné definici níže. Vektory mohou mít odlišnou povahu: směrované segmenty, matice, čísla, funkce a další, všechny lineární prostory stejné dimenze jsou však navzájem izomorfní.
Tento koncept vektoru se nejčastěji používá v řešení soustav lineárních algebraických rovnic, jakož i při práci s lineárními operátory (příkladem lineárního operátora je operátor rotace). Tato definice je často rozšířena definováním normy nebo skalárního produktu (možná obojího), po kterém pracují na normalizovaných a euklidovských prostorech, spojují pojem úhlu mezi vektory s skalárním produktem a představu délky vektoru s normou. Mnoho matematických objektů (například matic, tenzorů atd.), Včetně těch, které mají strukturu obecnější než konečný (a někdy i počitatelný) uspořádaný seznam, uspokojuje axiomy vektorového prostoru, tj. Z pohledu algebry jsou vektory .

Funkční analýza zvažuje funkční prostory - nekonečné rozměrové lineární prostory. Jejich prvky mohou být funkce. Na základě této reprezentace funkce je konstruována teorie Fourierovy řady. Podobně se u lineární algebry často zavádí norma, skalární součin nebo metrika ve funkčním prostoru. Některé metody řešení diferenciálních rovnic, například metoda konečných prvků, jsou založeny na konceptu funkce jako prvku Hilbertovho prostoru.

Nejobecnější definice vektoru je dána pomocí obecné algebry:

Mnoho výsledků lineární algebry je zobecněno na unitární moduly nad nekomutativními těly a dokonce i libovolnými moduly nad kruhy, takže v nejobecnějším případě může být v některých kontextech jakýkoli prvek modulu přes kruh nazýván vektor.

Vektor jako struktura mající jak velikost (modul), tak směr, je ve fyzice považován za matematický model rychlosti, síly a souvisejících veličin, kinematický nebo dynamický. Matematický model mnoha fyzikálních polí (například elektromagnetická pole nebo pole rychlosti proudění) jsou vektorová pole.

Abstraktní vícerozměrné a nekonečné dimenze (v duchu funkční analýzy) se v lagrangiánském a hamiltonovském formalismu používají vektorové prostory, jak se používají v mechanických a jiných dynamických systémech, stejně jako v kvantové mechanice (viz stavový vektor).

Vektor - (sekvence, n-tice) homogenních prvků. Toto je nejobecnější definice v tom smyslu, že běžné vektorové operace nemusí být specifikovány vůbec, mohou být menší nebo nemusí splňovat obvyklé axiomy lineárního prostoru. V této podobě je vektor chápán v programování, kde je zpravidla označen jménem identifikátoru s hranatými závorkami (například objekt) Seznam vlastností modeluje definici třídy a stavu objektu přijatého v teorii systému. Typy vektorových prvků tedy určují třídu objektu a hodnoty prvků určují jeho stav. Je však pravděpodobné, že toto použití termínu již jde nad rámec toho, co je obvykle přijímáno v algebře a obecně v matematice.

Přidání vektorů. Vektorové množství. Pravidla pro přidávání vektorů. Geometrická suma. Online kalkulačka

V mechanice existují dva typy veličin:

  • skalární množství zadání nějaké číselné hodnoty - čas, teplota, hmotnost atd.
  • vektorová množství které spolu s číselnou hodnotou určují směr - rychlost, síla atd.

Nejprve zvažujeme algebraický přístup k přidání vektorů.

Souřadnice přidávání vektorů.

Nechť jsou dány dva vektory dané souřadnicemi (pro výpočet souřadnic vektoru je nutné odečíst odpovídající souřadnice jeho začátku od odpovídajících souřadnic jeho konce, tj. Od první souřadnice - první, od druhé - druhé atd.):

Pak se souřadnice vektoru získaného přidáním těchto dvou vektorů vypočtou podle vzorce:

V dvojrozměrném případě je vše naprosto analogické, stačí vyřadit třetí souřadnici.

Nyní pojďme k geometrickému významu přidání dvou vektorů :.

Při přidávání vektorů je třeba vzít v úvahu jejich číselné hodnoty a směry. Existuje několik běžně používaných metod sčítání:

  • pravidlo rovnoběžníku
  • pravidlo trojúhelníku
  • trigonometrická metoda

Parallelogramové pravidlo.

Postup pro přidání vektorů podle pravidla rovnoběžníku je následující:

  • nakreslete první vektor s ohledem na jeho velikost a směr
  • od začátku prvního vektoru nakreslete druhý vektor, také pomocí jeho velikosti a směru
  • doplňte výkres do rovnoběžníku, za předpokladu, že jeho nakreslené dva vektory jsou jeho strany
  • výsledný vektor bude úhlopříčkou rovnoběžníku a jeho začátek se bude shodovat se začátkem prvního (a tedy druhého) vektoru.

Pravidlo trojúhelníku

Přidání vektorů podle pravidla trojúhelníku je následující:

  • nakreslete první vektor pomocí dat o jeho délce (číselná hodnota) a směru
  • nakreslete druhý vektor z konce prvního vektoru, a to také s ohledem na jeho velikost a směr
  • výsledný vektor bude vektor, jehož začátek se shoduje se začátkem prvního vektoru a konec s koncem druhého.

Trigonometrická metoda

Výsledný adiční vektor dvou koplanárních vektorů lze vypočítat pomocí kosinovy ​​věty:

F = numerická hodnota vektoru

a = úhel mezi vektory 1 a 2

Úhel mezi výsledným vektorem a jedním z původních vektorů lze vypočítat pomocí sinusové věty:

α = úhel mezi původními vektory

Příkladem je přidání vektorů.

Síla 1 je 5 kN a působí na tělo ve směru 80 o odlišném od směru působení druhé síly, který se rovná 8 kN.

Výsledná síla se vypočte takto:

Fres = 1/2

Úhel mezi výslednou silou a první silou se rovná:

A úhel mezi druhou a výslednou silou lze vypočítat takto: jako

a = arcsin

Kalkulačka sčítání vektorů online.

Kalkulačku níže lze použít pro libovolná množství vektorů (síla, rychlost atd.). Počáteční bod vektoru se shoduje se začátky obou zdrojových vektorů.

Konzultační a technické
podpora webových stránek: Zavarka Team

Pin
Send
Share
Send
Send